Interprétation
Comme dit dans la définition, \(\displaystyle \binom{n}{k}\) est le nombre de façons de choisir \(k\) éléments dans un ensemble de \(n\) éléments.
Les combinaisons sont sans répétition, par opposition avec les combinaisons avec répétitions.
Cela veut dire que l’on ne peut choisir qu’une seule fois chaque élément.
Voici quelques questions de combinatoire dont la réponse passe par une combinaison :
- Combien de nouvelles couleurs peut-on faire en mélangeant 2 couleurs parmi 5 couleurs de base (cyan, magenta, jaune, noir, blanc)
- \(\displaystyle \binom{5}{3} = 10\)
- Combien de “mains” de 5 cartes peut-on former avec un jeu de 52 cartes ?
- \(\dbinom{52}{5} = 2\,598\,960\)
- combien de “livres” différents peut-on former en choisissant 50 pages dans un dictionnaire de \(100\) pages (sans considérer l’ordre de ces pages) ?
- \(\displaystyle \binom{100}{50} = 100\,891\,344\,545\,564\,193\,334\,812\,497\,256 \approx 10^{30}\) (beaucoup)
Formule
La formule pour les combinaisons vient de celle pour les arrangements (\(A_{n}^{k}\)).
Par définition, un arrangement considère l’ordre, quand une combinaison ne le considère pas (car l’un compte les \(k\)-uplets, quand l’autre compte les ensemble de cardinal \(k\)).
Or, on sait qu’il y à \(k!\) façons d’arranger \(k\) éléments.
Donc, on sait qu’il y à \(k!\) fois plus d’arrangements que de combinaisons pour des mêmes coefficients : \(\displaystyle \binom{n}{k} = k! \times A_{n}^{k}\)
On en déduit : \(\displaystyle \binom{n}{k} = k! \times \frac{n!}{(n - k)!}\), soit :
\(\boxed{\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}}\)