arrangements

maths
Date de publication

5 janvier 2023

Définition

On définit \(A_{n}^{k}\) (lire “\(A\), \(n\), \(k\)”), les arrangements de \(k\) objets d’un ensemble de \(n\) objets, comme le nombre de \(k-uplets\) d’éléments d’un ensemble à \(n\) éléments.

On a : \(\displaystyle A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n-k)!}\)

Note : on dit aussi parfois “arrangements dans \(n\) de \(k\) éléments” pour \(A_{n}^{k}\)

C’est le nombre de \(k\)-uplets d’éléments d’un ensemble à \(n\) éléments

Interprétation

On peut interpréter \(A_{n}^{k}\) comme le nombre de façons de choisir \(k\) éléments dans un ensemble de \(n\) éléments, si l’ordre des éléments compte.

Voici quelques questions de combinatoire dont la réponse passe par des arrangements :

  • Combien y a-t-il de nombres avec 3 chiffres distincts ?
    • autrement dit : combien de façons de choisir 3 chiffres parmi les 10 qui existent (si l’ordre est important) ?
    • \(A_{10}^{3} = 720\)

Formule

Si on choisit \(k\) éléments, et que l’ordre compte, alors :

  • pour le premier élément, on a \(n\) possibilités
  • pour le deuxième élément, on a \(n - 1\) possibilités, car on ne peut pas choisir deux fois le premier élément
  • pour le troisième, \(n - 2\) possibilités
  • pour le \(4^{\text{ème}}\), \(n-3\) possibilités
  • \(\vdots\)
  • pour le \(k-1^{\text{ème}}\), \(n-k + 2\) possibilités
  • pour le \(k^{ème}\) élément, \(n - k + 1\) possibilités

Donc, en tout, on a \(n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times (n-k+1)\) possibilités.

On peut exprimer cela comme le produit des nombres de \(n-k+1\) jusqu’à \(n\) : \(\prod\limits_{i = n-k+1}^{n} i\).

Puisqu’on veut le produit jusqu’à \(n\) (donc \(n!\)), mais sans les nombres de \(1\) à \(n-k\) inclus (donc \((n-k)!\)), comme \(\dfrac{n!}{(n-k)!}\)

On a donc bien la formule : \(\boxed{A_{n}^{k} = \frac{n!}{(n-k)!}}\)