transposition

Permutation qui n’échange que deux éléments.
maths
Date de publication

19 janvier 2023

Définition

Une transposition est une permutation qui n’échange que \(2\) éléments.

Une transposition est donc un 2-cycle.

Formellement, une permutation \(\sigma \in\mathfrak{S}_{n}\) est une transposition si et seulement si :

  • il existe \(2\) éléments distincts \(a\) et \(b\) tels que \(\sigma(a)=b\) et \(\sigma(b)=a\)
  • \(\forall i \notin \{ a; b \}, \quad \sigma(i)=i\) (tous les autres éléments sont invariants par \(\sigma\))

\(\sigma = \begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}\) est une transposition

\(\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4\\3&2&1&4\end{pmatrix}\) est une transposition

\(\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&4&1&5&3\end{pmatrix}\) n’est pas une transposition

Voici la visualisation d’une transposition :

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