transposition

Définition

Une transposition est une permutation qui n’échange que $2$ éléments.

Une transposition est donc un 2-cycle.

Formellement, une permutation $\sigma \in {\mathfrak{S}}_n$ est une transposition si et seulement si :

• il existe $2$ éléments distincts $a$ et $b$ tels que $\sigma (a)=b$ et $\sigma (b)=a$
• $\mathrm{\forall }i\notin \{a;b\},\sigma (i)=i$ (tous les autres éléments sont invariants par $\sigma$)

Exemples

$\sigma =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 3& 2\end{array}\right)$ est une transposition

$\sigma =\left(\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\\ 3& 2& 1& 4\end{array}\right)$ est une transposition

$\sigma =\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 2& 4& 1& 5& 3\end{array}\right)$ n’est pas une transposition

Voici la visualisation d’une transposition :

(

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

)